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PER COMPRENDERE IL MONDO DEI QUANTI
Il nuovo regno della matematica

Il bizzarro mondo dei quanti non solo rappresenta una descrizione della natura ad un livello più fondamentale ma fornisce domande che potrebbero far emergere un nuovo campo di studi della matematica moderna.

La matematica potrebbe essere molto più che una scienza ambientale rispetto a quanto si creda. Anche se ha a che fare con la ricerca di eterne verità, molti concetti matematici sono riconducibili all’esperienza quotidiana. L’astrologia e l’architettura hanno ispirato gli egizi e i babilonesi a sviluppare la geometria. Lo studio della meccanica durante la rivoluzione scientifica del 17° secolo ci ha portato il calcolo. Sorprendentemente, le idee che derivano dalla teoria dei quanti contengono un forte potere matematico, anche se nella vita di tutti i giorni abbiamo ben poca esperienza con le particelle elementari. Il bizzarro mondo della meccanica quantistica, dove le cose sembrano essere in due posti diversi nello stesso momento e sono soggette alle leggi probabilistiche, non solo rappresenta una descrizione della natura ad un livello più fondamentale ma fornisce un ambiente molto ricco dove regna il mondo della matematica moderna. La domanda è: potrebbe la struttura logica della teoria quantistica, una volta compresa e assorbita completamente, ispirare la nascita di un nuovo dominio della matematica che potremmo definire “matematica quantistica”?

Storicamente, sappiamo che esiste una profonda, intima relazione tra matematica e fisica. Eugene Wigner, fisico matematico e premio Nobel, ha scritto in maniera eloquente delle fantastiche abilità della matematica nel descrivere la realtà, cioè “della sua irragionevole efficacia nelle scienze naturali”. Gli stessi concetti matematici si trovano in un ampio dominio di contesti. Ma oggi ci troviamo di fronte ad una situazione invertita: stiamo parlando dell’irragionevole efficacia della teoria dei quanti nella matematica moderna. Quelle idee che hanno origine dalla fisica delle particelle tendono ad apparire nei più disparati campi della matematica. Ciò è vero, ad esempio, per la teoria delle stringhe. La sua sempre più importante influenza nella matematica avrà un impatto gratificante e a lungo termine a prescindere da quello che sarà il suo ruolo nella fisica fondamentale. Il numero delle discipline che essa tocca è molto vario: analisi, geometria, algebra, topologia, probabilità e la lista continua.

Galileo affermò che la “filosofia è scritta nel grande libro della natura che attende di essere decodificato e che tale libro non può essere compreso a meno che non si impari il suo linguaggio, che è quello della matematica”. Più recentemente, anche Richard Feynman ha dichiarato che “se si vuole comprendere e apprezzare la natura, è necessario comprendere il suo linguaggio”.

Quale potrebbe essere la ragione che sta alla base di questa irragionevole efficacia della teoria dei quanti? Forse, secondo il fisico e matematico Robbert Dijkgraaf, potrebbe essere strettamente collegata al fatto che nel mondo dei quanti tutto ciò che può accadere di fatto accade. In maniera schematica, possiamo dire che la meccanica classica descrive il moto di una particella che si muove da A a B. Ad esempio, la traiettoria seguita potrebbe essere lungo una geodetica, cioè la lunghezza minima percorsa in uno spazio curvo. Invece, nella meccanica quantistica bisogna considerare tutte le possibile traiettorie da A a B. Questa interpretazione introdotta da Richard Feynman è nota come “somma su tutte le storie”. Le leggi della fisica assegneranno ad ogni traiettoria un certo peso che determina la probabilità che una particella percorra quella particolare traiettoria. La soluzione classica che segue le leggi di Newton è semplicemente quella più probabile fra tante traiettorie possibili. Perciò, in maniera quasi naturale, la fisica quantistica ha a che fare con un insieme di tutte le possibili traiettorie, come una sorta di insieme pesato, il che ci permette di considerare o meglio di sommare tutte le possibilità. Questo approccio “olistico” di considerare “tutto insieme in una sola volta” sta molto nello spirito della matematica moderna, dove lo studio delle “categorie” di oggetti si focalizza di più sulle loro relazioni reciproche che su ogni specifico esempio preso individualmente. Dunque, questo approccio di vedere con l’occhio di falco della teoria quantistica porta a nuove e sorprendenti connessioni.

Proiezione tridimensionale di una sezione di uno spazio di Calabi-Yau.

Un esempio molto calzante della magia con cui opera la teoria dei quanti è la simmetria speculare, ossia l’equivalenza degli spazi che ha rivoluzionato in maniera importante la geometria. La storia inizia dalla geometria numerabile, una branca ben assodata, anche se non alquanto interessante, della geometria algebrica che ha a che fare con la numerazione degli oggetti. Ad esempio, i ricercatori vogliono capire quante curve esistono negli spazi Calabi-Yau, che rappresentano le soluzioni dell’equazioni della relatività generale a sei dimensioni e che sono di particolare interesse per la teoria delle stringhe, dove vengono utilizzate per “arrotolare” le dimensioni extra dello spazio. Allo stesso modo in cui si può arrotolare un nastro varie volte attorno a un cilindro, le curve nello spazio di Calabi-Yau sono classificate da un intero, chiamato grado, che misura quante volte sono arrotolate. Trovare il numero delle curvature per un dato grado è diventato ormai un problema famoso e di difficile soluzione, anche per lo spazio Calabi-Yau più semplice, chiamato “quintic threefold”. Un risultato classico ottenuto nel 19° secolo indica che il numero di linee, curvature di grado-1, è uguale a 2.875. Il numero di curvature di grado-2 è stato calcolato nel 1980 circa e risulta molto più grande: 609.250. Il numero di curvature di grado-3 ha richiesto l’aiuto dei teorici delle stringhe. Intorno al 1990, un gruppo di teorici delle stringhe chiese ai geometri di calcolare questo numero. I geometri utilizzarono un complicato programma numerico e ottennero una risposta. Tuttavia, i teorici delle stringhe ebbero il sospetto che si trattasse di un valore errato, il che fece pensare alla presenza di un errore nel codice. Dopo aver effettuato una serie di controlli, i geometri confermarono che di fatto c’era un errore, ma come avevano fatto i fisici a scoprirlo? In realtà, i teorici delle stringhe avevano già lavorato per tradurre questo problema di geometria in un problema di fisica. Nel fare questo, essi avevano sviluppato un modo per calcolare il numero di curvature di qualsiasi grado in un singolo passaggio. È difficile dire quale fu lo shock nei circoli dei matematici, perchè fu come trovare il modo di scalare qualsiasi montagna senza tener conto della sua altezza. Nell’ambito della teoria dei quanti ha senso combinare il numero delle curvature di tutti i gradi in una singola, elegante funzione. In questo modo, otteniamo un’interpretazione fisica diretta. Essa può essere vista come l’ampiezza di probabilità di una stringa che si propaga nello spazio Calabi-Yau, dove è stato applicato il principio della somma su tutte le storie. Una stringa può essere pensata per esplorare tutte le possibili curvature di qualsiasi grado allo stesso tempo, divenendo una sorta di “calcolatore quantistico” super efficiente. Tuttavia, fu necessario adottare un secondo ingrediente per trovare la soluzione vera: una formulazione equivalente della fisica mediante il cosiddetto spazio Calabi-Yau “speculare”. Il termine “speculare” è molto semplice. Rispetto al modo in cui uno specchio ordinario riflette un’immagine, qui lo spazio originale e il suo specchio sono di forme molto diverse: essi non hanno nemmeno la stessa topologia. Ma nel mondo dei quanti, essi condividono molte proprietà. In particolare, si ha che il moto della stringa in entrambi gli spazi risulta identico. Il difficile computo del sistema originale si traduce in una espressione molto più semplice sul sistema speculare dove il calcolo può essere eseguito mediante un singolo integrale.

La simmetria speculare illustra una potente proprietà della meccanica quantistica chiamata dualità: due modelli classici possono diventare equivalenti se vengono considerati come sistemi quantistici, come se tutte le loro differenze sparissero per magia. Questa proprietà punta a simmetrie più profonde, e spesso misteriose, che stanno alla base della teoria dei quanti. In generale, la dualità è ancora poco conosciuta e questo riflette il fatto che la nostra comprensione del mondo dei quanti sia alquanto incompleta. Il primo e più famoso esempio di una tale equivalenza è il ben noto dualismo onda-particella: esso afferma che lo stato quantico di ogni particella, come un elettrone, può essere considerato sia come una particella che come un’onda. Entrambi i punti di vista hanno i loro vantaggi, nel senso che offrono prospettive diverse sullo stesso fenomeno fisico. Ma il punto di vista “corretto”, cioè particella oppure onda, è determinato solo dalla natura della domanda e non dipende dalla natura dell’elettrone. I due aspetti della simmetria speculare offrono prospettive duali ed equamente valide nell’ambito della “geometria quantistica”. Ora, la matematica ha quella meravigliosa capacità di connettere mondi differenti. Il simbolo matematico più trascurato in ogni equazione è l’umile segno di uguale. Le idee degli scienziati passano attraverso questo simbolo, un po’ come la corrente elettrica che illumina la lampadina delle nostre menti, e le sue doppie lineette indicano che queste idee possono scorrere in entrambe le direzioni. Albert Einstein fu un assoluto maestro nel trovare delle equazioni che esemplificano questa proprietà. Prendiamo, ad esempio, la famosa equivalenza massa-energia, E = mc2, l’equazione più famosa della storia della fisica. Nella sua eleganza più profonda, essa connette i concetti fisici della massa e dell’energia che erano stati considerati completamente distinti prima dell’avvento della teoria della relatività. Grazie all’equazione di Einstein, sappiamo che la massa può essere trasformata in energia e viceversa. L’equazione della relatività generale, anche se meno immediata e nota, correla il mondo della geometria e della materia in un modo egualmente e sorprendentemente elegante. Un modo molto semplicistico di riassumere la teoria è quello di dire che “la massa dice allo spazio come curvarsi e lo spazio dice alla massa come muoversi”, così come affermò metaforicamente John Wheeler. La simmetria speculare è un altro esempio perfetto della potenza del segno uguale. In altre parole, è in grado di connettere due mondi matematici differenti: uno è il dominio della cosiddetta geometria simplettica, quella branca della matematica che sta alla base della meccanica; l’altro è il dominio della geometria algebrica, il mondo dei numeri complessi. La fisica quantistica permette alle idee di “scorrere” da un campo all’altro e fornisce un’inattesa “grande unificazione” di queste due discipline. È molto confortante vedere come la matematica sia stata in grado di assorbire così tanto dell’intuitivo, spesso impreciso modo di ragionare della fisica quantistica e della teoria delle stringhe e di trasformare molte di queste idee in affermazioni e prove rigorose. I matematici sono vicini nell’applicare questa esattezza all’omologica simmetria speculare, un programma che estende ampiamente l’idea originale della teoria delle stringhe alla simmetria speculare. In un certo senso, essi stanno scrivendo una sorta di dizionario completo di oggetti che appaiono nei due mondi separati della matematica, includendo le relazioni che essi soddisfano. Da notare che queste prove matematiche spesso non seguono il percorso suggerito dalle argomentazioni della fisica. Apparentemente, i matematici non hanno il ruolo di ripulire dopo i fisici. Al contrario, in molti casi devono essere sviluppate nuove linee di pensiero completamente nuove per trovare le prove. E ciò rappresenta un’ulteriore evidenza della logica profonda e non ancora conosciuta che sta alla base della teoria dei quanti e, in definitiva, della realtà.

Niels Bohr era molto appassionato della nozione di complementarità. Il concetto emerse dal fatto che, quando Werner Heisenberg dimostrò il suo principio di indeterminazione, nella meccanica quantistica si può misurare o il momento di una particella o la sua posizione ma non entrambe allo stesso tempo.  Nei suoi ultimi anni di vita, Bohr tentò di spingere questa idea verso una visione filosofica più ampia. Una delle sue coppie complementari favorite era la verità e la chiarezza. Forse, bisognerebbe aggiungere anche un’altra coppia di complementarità e cioè rigore matematico e intuizione fisica come un altro esempio di due qualità che si escludono reciprocamente. Si può guardare il mondo o con l’occhio matematico o con quello complementare della fisica, ma senza osare di aprirli entrambi.

Il 19 Ottobre del 1926, Wolfgang Pauli scrisse argutamente una lettera a Heisenberg su questa dualità poche settimane dopo la scoperta: “Uno può vedere il mondo con l’occhio del momento che possiede la particella o con quello della posizione che assume la particella, ma se si aprono entrambi si diventa matti”.

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